第39章 证法太多啦

这就有解题思路了？

不会吧……

莫利斯心下一跳，但隨后又暗暗摇头：

“不可能，这才多久……”

“这小子应该和之前的我一样，发现一些思路就急匆匆地开始了作答。如果不出意外的话，他应该很快就会犯下我之前犯过的错误，走入死胡同，最终不得不回到原点。”

只是，不出意外的话还是出现了意外。

罗伦答题的速度很快。

笔下如有神助，书写相当流畅。

没过多久，罗伦的证明过程便走到了最后。

[……因此，根据归纳法，a^p﹣a被素数p整除对任意正整数a成立……最终，若p是一个素数，且整数a与p互质，则有a^（p﹣1）≡1（mod p），证毕！]

写下最后两个字后，罗伦扭头看向正盯著白色写字板发呆的莫利斯，说道：

“莫利斯特使，我证完了。”

莫利斯没有搭理他，反而还伸出手掌，一把將他薅开，自己凑到白色的写字板前，盯著他的证明过程逐字逐句地看了起来。

一边看，他还在喃喃吐字道：

“二项式展开？”

起初，莫利斯还想找找罗伦答题的错漏，然而，当他草草地將罗伦的解答过程瀏览一遍后，脸上的表情陡然变得十分严肃。

“等等，等等……將（a+1）^p展开后，每一项的係数，都和p有关？”

莫利斯呢喃间，又伸手一把將罗伦薅了过来，手指头指著写字板上的某处解答过程道：

“这里是怎么回事，怎么就注意到了？你没写清楚吧？”

“写清楚了的。”罗伦解释道：“不是每一项的係数，而是除了第一项与最后一项的係数，都是p的倍数，並且，前提是这个p是素数，偶数则不行。”

“嗯，好像是……”莫利斯还在思考中。

“不是好像是，而是就是。”罗伦上前拆解道：“二项式展开（a+1）^p后，係数（k，p）实际就等於p！/（k！（p-k）！）……”

“噢，知道了知道了。”

莫利斯发出了恍然大悟的声音：

“当p为素数，且0＜k＜p时，係数（k，p）是整数，且分子含因子p，因此係数（k，p）≡0（mod p）对所有0＜k＜p成立。所以除了第一项和最后一项，所有中间项的係数，都会保留一个不被约掉的p，意味著能被p整除。”

“接下来显而易见的，代入同余式可得（a+1）^p≡a^p+1（mod p），意味著（a+1）^p-a^p-1，必然是p的倍数。”

“而根据题目的假设內容，a^（p﹣1）≡1（mod p），简单调整后，可以將其变形为：a^p﹣a≡0（mod p）。”

“这时候，可以写出a^p﹣a的a+1项，有（a+1）^p﹣（a+1）=[（a+1）^p﹣a^p﹣1]+a^p﹣a，观察可知，若a^p﹣a能被p整除，则（a+1）^p﹣（a+1），也一定能被p整除。”

到这里，整道题的证明已是相当清晰明朗了。

根据归纳法，只需要证明当a=1时，a^p﹣a能被p整除即可。

而a=1时，a^p﹣a=0，显然是能被任意素数p整除的。

综上，弗根猜想由此得证。