第43章 算术迷宫

西蒙娜说：“不著急，等一会儿就能看到了，很快的。”

她话音落下没多久，那黑袍老师的声音再次响起，並带著一丝恨铁不成钢的怒意：

“你们真是我教过的最差的一届学生，全班五十个人，居然没有一个人能把这道题完整解答出来……都给我好好开动下脑筋，今天若没人能做出这道题，那我们就不下课了！”

这时，西蒙娜才笑道：“行了，现在能看到了。”

罗伦眼睛看向黑板，只见那一道原先云遮雾绕，看不真切的数学题，此刻已然清晰无误地浮现在了眼前。

【第四题：请证明π＜22/7。】

看到这道题的一瞬间，罗伦神色一怔，说道：“这道题，通过数值计算，应该很容易得出结论吧？”

眾所周知，π值约等於3.1415926，而22/7则约等於3.14285。

孰小孰大，一目了然。

西蒙娜伸展腰肢，令自己纤腰上的丰盛与饱满稍稍活动了下，而后打了个哈欠，摇头说：

“不行的，我昨晚就使用割圆法进行了数值计算，但未得到正確判定，必须通过逻辑推导完成的证明才能被纳入解答完成的序列。”

“如果是这样的话，那恐怕只能通过微积分来证明了。”罗伦直接给出了自己的看法。

“对，是需要通过微积分。”西蒙娜笑吟吟地看著罗伦：“能这么快道出解题的关键，看来，你应该是懂微积分的。”

“略懂……”罗伦谦虚地回道。

“懂就好。”

西蒙娜素手往面前的书桌上一摸，一份质感十足的空白稿纸与写字笔，便凭空出现在她面前。

她拿起写字笔，快速往稿纸上书写，边写边对罗伦说：

“我之前思考了下，觉得最好是从构造目標函数来进行证明，因为∫(0→1)（1/(1+x^2)）dx=arctanx|(0→1)=π/4，所以目標函数需要包含（1/(1+x^2)）……”

“不错，你的思路是对的。”罗伦听了点评了一句。

然而，这话落在西蒙娜耳中，却令她书写的动作微微一滯，她抬起螓首，用狐媚眼斜了下罗伦，正准备说他两句什么。

却只听罗伦继续道：“目標函数的分子，既然设计成(1-x)了，那就不要拘泥於低次方，可以尝试下更高次方。”

西蒙娜被他这话吸引了注意力，蹙眉道：“更高次方？”

罗伦道：“不要怕展开后项数太多，类似分子(1-x)^n、分母1+x^2的设计，往往具有很强的对称性，无用的项数到时候直接就能削掉，你可以稍微大胆点。”

西蒙娜不语，只是捏著笔一味地演算，不久后，她的眉梢渐渐舒展：

“是的，更高次方，要在[0，1]的区间內进行积分，需要8次方才行，抵消掉x^2后，还余下x^6，积分后的值正好有个1/7……可还是不对啊，最后的结果对不上，不是我需要的目標值……”

“没必要直接在(1-x)那里上8次方，將其定位4次方，然后再构造一个x出来，用4次方去乘，一样可以得到8次方，你试试。”

“那我试试。”

西蒙娜按照罗伦的提醒，重新將分子构造成x^4(1-x)^4，而后脸蛋上终於浮现出了灿烂的笑容：

“唔，出来了出来了，化简后得到多项式x^6?4x^5+5x^4?4x^ 2+4，外加-（4/(1+x^2)），在[0，1]的区间內进行积分，恰好就是22/7-π，然后再利用被积函数的非负性且不恆为零的性质，可以得到22/7-π大於零，因此π＜22/7，得证，完美。”

写到这里，西蒙娜停下笔拍了拍手掌，美眸熠熠地瞅著罗伦，嘖嘖称奇道：

“可以啊你，罗伦，思维居然如此敏捷，你的数感比我想像中的更加强大，怪不得莫利斯非要拉你进入课题组。”

“能帮上忙就好。”罗伦笑了笑。

这道题跟数感强不强大，其实没什么关係，就是一道典型的构造性证明题。

通过微积分的一些基本结论，以及对式子的敏感性，很容易就能倒推出想要的目標函数。

两人说话间，隨著西蒙娜在稿纸上完成对这道题的证明，这片空间像是有感应一般，嗡嗡震动了几下，继而站在讲台上一直没出声的黑袍老师，欣慰地开口说道：

“很不错，我原以为你们在今天结束之前，都不可能將这道题解出来了，但没想到，竟然有人在短短几分钟內就完成了解答，这很好……”

黑袍老师抬手往黑板上瞧了瞧，又道：

“既然如此，趁著现在还没下课，那就再来看看我为你们准备的另一道题吧。”