第44章 积分题

黑板上，原本第三道题的字跡一阵虚浮，如水波般蠕动荡漾一阵后，很快化为了一道新的数学题。

【第四题：请用四种不同的方法，证明或证偽素数有无限个。】

“哦艹，怎么又是纯数题，真他妈……”

西蒙娜眉黛皱了起来，一脸不爽地咕噥，红润的嘴唇里下意识还夹杂著一些脏东西。

但隨后，意识到有人还在身侧，她又迅速恢復了正常，说道：

“素数有无限个，这是肯定的，所以这道题是要进行证明，而非证偽，我知道有一种很简洁的方法……”

西蒙娜思索了两秒，提起写字笔，迅速往稿纸上书写起来。

[证法一：设2，3，5……，p是不大於p的所有素数组成的集合，並令s=（2x3x5x……xp）+1，则s不能被2，3，5……，p中的任何一个素数整除。於是，s要么是一个素数，要么是一个不能被已知素数整除的合数。无论哪一种情形，都会有一个大於p的素数存在，故不存在最大素数。因此，素数有无限个。]

罗伦扫了两眼，微微点头，很標准的欧几里得式证法。

而后他也不说话，就只是静静地看著西蒙娜，等她的第二种证法。

然而，等了半天她也没憋出一个字来。

儘管关於素数的无限性证明非常基础、非常简单，西蒙娜对纯数研究並不擅长，却也能很快给出一种证法。

但仅是一种证法而已。

若涉及到更多的证法，那便需要对素数在多角度、多方面具有深刻的研究，而这恰好是她的弱势，一时半刻的，她还真想不出来其他的证明思路。

西蒙娜抬起素手抠了抠自己的脑门，看向罗伦，问道：“怎么样，你对另外的证法，有什么思路吗？”

“有。”

罗伦点了点头，而后垂下目光，面前自动浮现出了空白稿纸与写字笔。

他摆正稿纸，捏著写字笔斟酌了片刻，在西蒙娜的注视下，不紧不慢地书写起来：

[证法二：分析形如f(n)=(2^2^n)+1的数的基本性质……易知任意两个f(n)必然互素。若f(n)是素数，则其自身是素因子，若f(n)是合数，由於任意两个f(n)互素，所以其素因子必然是新的素数。因为每个f(n)对应至少一个新的素数，当n的取值趋於无穷时，可导出素数也有无限个]

[证法三：假设素数仅有k个，记为……]

[证法四：对任意n≥2，区间[n!+2，n!+n]含n?1个连续合数……令n=k!（k≥2），则区间[k!!+2，k!!+k!]的长度为k!?1，当k趋於无穷，k!-1也趋於无穷，即存在任意长的连续合数序列，分析端点素性……因此，素数无限。]

关於素数无限性的证明方法，在罗伦的前世资料库里有一大堆，足足好几十个，初等的，高数的，群论的，拓扑学的……都有。

其中，广为人知的黎曼zeta函数的因式分解——欧拉乘积式，便可以直接从数据上给出素数无限的证明。

不过，罗伦在这里並没有使用太高深的知识，他给出的几种方法，都没有超过初等数论的范畴。

第二种证法是通过分析费马数来证明。

第三种证法是通过无平方因子数的数量来导出矛盾，用到了反证的思路，与西蒙娜给出的第一种证法有异曲同工之妙，但角度选得比她的更刁钻一些。

第四种证法是通过相邻整数互素的性质，证明素数间隙可任意大，从而得出素数的无限性。

此时此刻，西蒙娜看罗伦的眼神里，充满了惊奇之色。

原本，她询问罗伦有没有什么思路，其实仅仅指的是第二种证法的思路。