第45章 罗伦：能看懂吧？

“首先，我们注意到，这个积分的区间是从0到1，开闭无所谓，在这个区间里的每一个数都一定可以写成十进位的形式，也就是x=a1/10+a2/(10^2)+a3/(10^3)+……a∈（0-9）”

“不过，因为题目中的分子是2的冪，我们不妨写成二进位，也就是x=a1/2+a2/(2^2)+a3/(2^3)+……a∈（0-1）。”

“这里取二进位的优势在於，乘完以后取整数部分时是十分容易的，比如说，假设x用这样的一个二进位表示，x=∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），於是就有[(2^n)x]=2^(n-1)a1+2^(n-2)a2+……+an，第n项以后的所有数都小於1，取整以后就直接变成0了。”

“这一步能看懂吧？”

罗伦话到这里看了眼西蒙娜，见她看得很认真，便顺口问了一嘴。

什么十进位二进位，这都什么跟什么啊，第一次听说这类的概念，不过，看起来还挺像那么回事的……西蒙娜心里暗道。

此时此刻，她还在盯著罗伦写的第二行关於二进位的式子看，並在心里迅速验算著是否正確。

至於第三行的內容，她还看都没看过。

但对上罗伦的眼睛，见他一副『这很简单你不会连这个都看不懂吧』的表情，西蒙娜也是个要面子的女士，又直接脱口道：

“懂啊，当然能看懂。”

罗伦见状，还以为她真懂了，便又继续往下讲解：

“所以这时候，我们可以用二进位的係数a將原始的无穷求和直接写出来，便有∑(n=1→∞)[(2^n)x]/(3^n)=∑(n=1→∞)(2^n)/(3^n)∑(k=1→∞)（ak/（2^k）），接下来，再交换求和的顺序，把係数a提取出来……”

“这里，嗯，需要用到一个交换求和顺序的式子，∑(k=1→n)∑(j=1→k)=∑(j=1→n)∑(k=j→n)……”

“接下来，就是计算换序后里面的求和，这实际上很简单，是一个等比数列……化简后，可以得到∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），到这里，我们就將积分里面的东西，转化为了一个像是三进位的表达。”

“这一步能看懂吧？”罗伦习惯性地问了一嘴。

“能看懂……”

西蒙娜硬著头皮嘴了一句，但心里实际上已经开始在倒腾脏东西了。

这他妈的什么跟什么啊，凭什么交换求和的顺序可以这样写，这公式你怎么得出来的，为什么我在圣院的付费课程里没有学到过这一块？

罗伦继续道：

“令s=∑(k=1→∞)（ak/3^（k-1）），展开后便是a1/3+a2/(3^2)+a3/(3^3)+……这里的s是x的函数。“

“这时，题目中的积分式子就变成了∫(0→1)(s(x))^2dx。”

“现在尝试理解一下，在0到1上面隨便取一个x，那么这个x一定会映射到s，所以s属於一个隨机变量，而由於x是隨便取的，x必然满足均匀分布，因此这个积分的意思是对隨机变量s平方求期望……”

“考虑这样一个概率事件……所以，如果概率期望为p=1/2，那么方差即为p（1-p）=1/4……”

“最终代入计算，再逆著用方差公式变换下……可以得到最终的值为27/32。”

写到这里，罗伦自己觉得一目了然，清清楚楚。

这道题的难度是有的，但不算太离谱，顶多考研水平，只要能熟练理解二进位+概率期望+双重求和换序，解答起来基本算是手拿把掐。

当然，这是罗伦自己的看法，可放在西蒙娜眼里，却可能不太一样了。

此时此刻，西蒙娜看著罗伦最后计算出来的值，表情一愣一愣的：

“所以，这样就……解出来了？”

不等罗伦回答她的话，讲台上，那位黑袍老师的声音便先传了过来：

“通过二进位展开將连续变量离散化，又通过期望值將离散问题概率化，有意思，真有意思，这道题居然还能有如此简洁的做法……那位新来的同学，你，叫什么名字？”

虽然看不清黑袍老师的面孔，但此刻，罗伦还是感觉对方的视线落在了自己的身上。

罗伦连忙起身回道：“老师，我叫罗伦。”

“嗯，罗伦，你这节课的表现很不错，希望你在下面的课堂中，也能继续保持。”黑袍老师说著，手一挥，声音逐渐变得朦朧起来：“这一节课到此为止，下课……”

霎时，空间开始震盪，光线也在变得模糊。